El experimento de Eratóstenes

¿Cómo puedes medir la Tierra con la cinta métrica de tu madre, y a la vez, demostrar que no es plana?
La cinta métrica de mi madre
La solución a esta estúpida pregunta es sencilla: El experimento de Eratóstenes. Eratóstenes es famoso porque calculó con mucha precisión el tamaño de la Tierra en el siglo III a.c. tan sólo midiendo la sombra de su bastón, un par de datos  y con una deducción matemática muy elegante.
Aprovechando un viaje que iba a hacer a Londres quise realizar el mismo experimento, y con la cinta métrica de mi madre y la antena de una vieja radio (algo fino y largo que pudiese pasar los controles del aeropuerto), me propuse medir la Tierra.
El fundamento es muy sencillo. El sol esta muy muy lejos de la Tierra (147 millones de kilómetros) por lo que sus rayos nos llegan paralelos. Por lo tanto, si la Tierra fuese plana, a la misma hora en Londres y en Ávila, la sombra que proyectase un palo del mismo tamaño (verde) sobre el suelo sería igual (morado):
Si fuese la tierra plana
Pero si la Tierra fuese redonda, las sombras proyectadas por los dos palos del mismo tamaño en Londres y en Ávila serían de distinto tamaño.
Si La Tierra fuese redonda
Luego, midiendo la longitud de la sombra de la antena a la misma hora en Ávila y en Londres y comprobando que las longitudes son diferentes se demuestra que la Tierra es redonda.
Pero ahí no acaba todo. Conociendo la diferencia en las longitudes de las sombras se puede conocer también el tamaño de la Tierra: esto se descubre a través de una sencilla razón matemática: Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, los ángulos interiores alternos son iguales:
Ángulos
Es decir, los ángulos a, b, c y d son iguales.
Nosotros ya tenemos las rectas paralelas, son los rayos del sol, y la tercera línea, que cruza a las rectas paralelas, es la línea imaginaria que surge de la prolongación del palo con el que mido hasta el centro de la Tierra:
Los ángulos en La Tierra
Como hemos visto, los ángulos a y b son iguales, por lo tanto, una vez conocido el ángulo a y sabiendo la distancia entre Ávila y Londres, podemos calcular rápidamente el radio de la tierra.

Este es el planteamiento teórico de la medición, pero llevarlo a la práctica no fácil y he tenido varios problemas, que he ido solucionando de manera más o menos elegante.
El primero es sencillito, en el diagrama de arriba supongo que el sol incide sobre Londres de forma perpendicular, y eso no ocurre. Para solucionarlo, supongo que el ángulo a es la diferencia de los ángulos de Londres y Ávila.
El segundo problema es que las mediciones en Ávila y en Londres deben ser a la vez o el mismo día del año,  y yo no tenía a nadie que midiese en Ávila a la vez que medía en Londres y no me podía esperar un año a que esté la tierra en la misma posición, por lo que hice las mediciones el día antes de irme y el primer día en Londres y el último día en Londres y el día siguiente a mi regreso, de tal forma que este error fuese mínimo.
Y el tercer problema es que Londres no está en el mismo meridiano que Ávila (en la misma longitud), por lo que miré en un mapa la diferencia de longitudes y calculé el tiempo que tarda el sol en estar en la misma posición para Ávila que para Londres, sabiendo que el sol tarda 24 horas en recorrer 360º:

        Longitud Londres: 0º 4' 56'' O
        Longitud Ávila: 4º 40' 21'' O
        Diferencia: 4º 35' 25''
        Tiempo que tarda el sol en recorrer los 4º 35' 25'':
$$4º 35' 25'' \times \frac{24 \text{ h}}{360º} = 0,30 \text{ h} = 18 \text{ min}$$ Por lo que medí la longitud de la sombra 18 minutos más tarde que la hora a la que medía en Londres.
Diagrama explicativo
Hice todas estas mediciones (la primera es evidente que anoté mal la longitud de la sombra, la mayoría no sirven para nada, las hice a diferentes horas para tener más posibilidades a la hora de medirlo en los dos sitios y las que están en negrita son las que he utilizado)

Ávila 11 - 4 - 2007
        18:44    Antena: 48 cm        Sombra: 135 cm        Ángulo: 70º 25' 36,75''
Londres 12 - 4 - 2007
        15:39    Antena: 48 cm        Sombra: 52 cm          Ángulo:  47º 17' 26,2''
        18:44    Antena: 48 cm        Sombra: 135 cm        Ángulo: 70º 25' 36,75''
Greenwich (0º) 15 - 4 - 2007
        18:36    Antena: 48 cm        Sombra: 131 cm        Ángulo: 69º 52' 35,58''
        18:44    Antena: 48 cm        Sombra: 133 cm        Ángulo: 70º 9' 19,34''
Londres 16 - 4 - 2007
        14:20    Antena: 48 cm        Sombra: 44 cm          Ángulo: 42º 30' 37,61''
Ávila 17 - 4 - 2007 (olvidé la antena...)
        14:20    Poste: 74 cm          Sombra: 41 cm          Ángulo: 28º 59' 19,76''
        14:24    Poste: 130 cm        Sombra: 75 cm          Ángulo: 29º 58' 53,9''
        14:30    Poste: 275 cm        Sombra: 164 cm        Ángulo: 30º 48' 37,13''
        14:38    Poste: 275 cm        Sombra: 168 cm        Ángulo: 31º 25' 16,09''
Aquí podéis ver la antena dando sombra junto al palacio de Buckingham:
La antena en Buckingham
Y aquí la antena junto a la puerta de San Vicente de las murallas de Ávila
La antena en las murallas de Ávila
Las ardillas londinenses estuvieron muy atentas al experimento:
Ardillita espía
Las cuentas no son complicadas:
El ángulo lo obtengo por trigonometría básica: la tangente del ángulo $$\tan a = \frac{\text{longitud del poste}}{\text{longitud de la sombra}}$$ La diferencia de ángulos nos da lo que en el diagrama había llamado el ángulo a: $$ a = 42º30'37,61'' - 31º25'16,09'' = 11º5'21,52''$$ Conociendo la distancia entre Londres y el punto que está en la misma latitud que Ávila pero en la misma longitud que Londres (1210 km) y la diferencia entre los ángulos de la sombra en las dos ciudades, puedo calcular el radio de la tierra, puesto que si la longitud de una circunferencia es: $$l = 2 \pi r$$ que corresponden a los 360º de la circunferencia, por tanto, nuestros 11º y pico darán un arco de longitud proporcional al ángulo. De esa ecuación podemos despejar el radio, que es el dato que queremos conocer: $$l = a r \frac{2 \pi}{360º} \Rightarrow r = \frac{l 360º}{a 2 \pi}$$ donde \(l\) es la longitud del arco, \(a\) es nuestro ángulo y \(r\) es el radio de la Tierra.
Luego el radio de la Tierra es: $$ r = \frac{1.210 \text{ km} \times 360º}{11º5' 21,52'' \times 2 \pi} = 6.251,77 \text{ km}$$ ¡6.251,77 km!. El radio medio real de la Tierra es de 6.378,14 km, por lo que sólo he cometido un error de $$100\% - \frac{ 6.251,77 \text{ km}}{6.378,14 \text{ km}} \times 100 = 1,98 \%$$ tan sólo un 1,98%. Es increíble que con los materiales que he utilizado se obtenga un resultado tan bueno. Sin duda éste es uno de los experimentos científicos más simples, eficaces y sencillos.

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