¿Cuánto pesa la Tierra?

Vamos a ver como se puede determinar la masa de la Tierra de una forma muy sencilla. Hace ya unos meses medimos su tamaño por medio del experimento de Eratóstenes. ¿Lo recuerdas?. Dedujimos que la Tierra tenía un radio de 6.251,77 km.
El otro día, hablando con un amigo (gracias Alvar) sobre gravitación, me di cuenta de que haciendo otro sencillo experimento podía determinar también su masa. Os explico:
Newton desarrolló su Ley de la gravitación universal, que se resumía de la siguiente manera:

La fuerza de atracción entre dos cuerpos cualesquiera es directamente proporcional al producto de sus masas respectivas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad.

Esto, puesto en el lenguaje de las matemáticas significa: $$ F = G \frac{m \cdot m'}{r^2}$$ donde:

\(F\) = Fuerza de atracción
\(G\) = Constante de gravitación universal
\(m\) = masa de un objeto
\(m'\) = masa del otro objeto
\(r\) = distancia que separa sus centros

También hablamos un día de las tres leyes que nos dio Newton y que explicaban la mecánica clásica a la perfección. Tomaremos su segunda ley:

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración y a su masa.

Ya lo dice el nombre, la fuerza de atracción, es una fuerza, por lo tanto es proporcional a su aceleración, y todo esto llevado a nuestra vida diaria, la fuerza que hace que las tostadas caigan al suelo (independientemente de que lado) es proporcional a la aceleración gravitatoria. En fórmula, esto es: $$F = g \cdot m$$ donde:

\(F\) = Fuerza de atracción
\(g\) = aceleración gravitatoria
\(m\) = masa de un objeto

Esta fuerza es exactamente la misma que la primera ecuación, es decir:
$$ G \frac{m \cdot m'}{r^2} = F = g \cdot m $$ por lo que el término correspondiente a uno de los objetos se puede despreciar y se simplifica la ecuación un montón: $$ G \frac{m'}{r^2} = g $$ y, ¿qué es \(m'\)? pues es la masa del otro objeto, es decir, la masa de la Tierra, que es lo que queremos calcular. \(r\) es la distancia que nos separa del centro de la Tierra, es decir, el radio de la Tierra, el dato que calculamos en el anterior experimento. Así pues nos faltan dos datos \(G\) y \(g\):
\(G\) es la constante de gravitación universal, una constante que nos relaciona las masas y la distancia con la fuerza. Se puede calcular su valor por medio del experimento de Cavendish, pero yo no tengo una subvención de la Royal Society para comprar un torsímetro y un montón de esferas enormes de plomo. Así que este valor lo tomo directamente de su experimento (aunque no era en realidad lo él estaba buscando):
$$ G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}$$ \(g\)es la aceleración de la gravedad. Este es el dato que voy a calcular por medio de un experimento. Bueno, en realidad por medio de dos experimentos. La aceleración de la gravedad se puede determinar de muchas maneras. Una de las más sencillas es con un péndulo.
Los péndulos, cuando oscilan con amplitudes menores de 5º, su periodo de oscilación es independiente de la masa y naturaleza de la partícula oscilante y, asimismo, independiente de la amplitud de oscilación. De tal forma que el periodo de oscilación sólo depende de la longitud del hilo del péndulo y de la aceleración de la gravedad: $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$ Despejando obtenemos la ecuación que nos permite calcular \(g\): $$ g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2} $$ Así que hice un péndulo con hilo y unas arandelas de acero y lo colgué de la antena del anterior experimento, de tal forma que no le afectase ninguna corriente de aire. El hilo medía 118 cm de longitud.
Detalle del péndulo
Retiré el extremo del péndulo 5 cm (para tener un ángulo menor de 5º) y cronometré 25 periodos (idas y venidas) para obtener un valor promediado. El péndulo tardó en ir y venir 25 veces 54,75 segundos. Así que el tiempo que duraba un periodo era de 2,19 segundos. Sustituimos en la fórmula: $$ g = \frac{4 \pi^2 \cdot 1,18 \text{ m}}{(2,19 \text{ s})^2} = 9,71 \text{ m/s}^2 $$ Ya tenemos el primer resultado. Pero hay otra forma sencilla de medir la aceleración de la gravedad. Una vez en el colegio hicimos una rampa por la que dejábamos caer canicas de acero y las cronometrábamos. Pero eso era muy aburrido, así que, se me ocurrió hacerlo al estilo de Galileo en la torre de Pisa
Galileo haciendo un experimento
Por eso, llamé a dos amigos, Edu y Emilio, y nos fuimos a una presa que hay cerca de Ávila a medir cuanto tiempo tardaba en caer al agua una piedra desde el dique. Primero tuvimos que medir la altura a la que estaba el punto desde el que íbamos a tirar la piedra, para ello, atamos un peso a una cuerda, lo dejamos caer hasta que tocó el agua y luego medimos la cuerda utilizada con un metro. La altura de la presa era de 11,8 m.
A continuación, dejamos caer las piedras:
El tiempo lo he medido con el ordenador, pasando el video a cámara muy lenta, imagen por imagen (frame to frame), y anotando el tiempo de cada imagen, los cálculos del vídeo nos dan un resultado de $$ g = 9,63 \text{ m/s}^2 $$ Pero, ¿Cuál es el valor de la gravedad real en Ávila? En el colegio siempre utilizábamos 9,81 m/s^2 pero el valor de la gravedad no es constante, porque depende de la altura, la latitud, la composición de las rocas que tenemos debajo... Según el programa de la PTB, la gravedad en Ávila es de 9,7995 m/s^2
Mapa de la gravedad
De nuestros resultados, el más correcto es el del péndulo, pero como no queremos que una parte de nuestro trabajo sea en balde, haremos una media de los dos: $$ g = \frac{9,71 \text{ m/s}^2 + 9,63 \text{ m/s}^2}{2} = 9,67 \text{ m/s}^2 $$ Y sustituimos en la ecuación que dedujimos arriba del todo: $$ M_T = \frac{r^2 \cdot g}{G} = \frac{(6.241,770 \text{ m})^2 \cdot 9,67 \text{ m/s}^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3/\text{kg s}^2} = 5,648 \cdot 10^{24} \text{ kg} $$ Es decir que la Tierra, con todas sus montañas, océanos, casas y personas pesa 5.648.000.000.000.000.000.000.000 kg, es decir, cinco cuatrillones seiscientos cuarenta y ocho mil trillones de kilos. Pero estos son nuestros cálculos, ¿cuánto pesa en realidad?
Según la wikipedia, la tierra pesa 5,974 · 10^24 kg, por lo que hemos cometido un error de: $$ 100\% - \frac{5,648 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{5,974 \cdot 10^{24} \text{ kg}} \times 100 = 5,4\% $$ Aunque la mayoría del mérito lo tiene Cavendish, no está nada mal este error viendo que hemos medido y pesado la tierra con un metro, una antena, una bobina de hilo y un puñado de piedras.

1 comentario:

  1. muy interesante el artículo. Gracias por la publicación.

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